SI100B Spring 2025 EE Project

1.Conuter

1.Conuter

1.Conuter in Logisim

2. Image I/O in Logisim

我们提供了两个脚本：

• ImageToMemory.py
• VisualizeMemory.py

1. 使用我们所提供的脚本进行一遍完整的 Image 和 Memory 之间的交互流程

2. 使用我们提供的脚本给Memory喂一张图片,设置一下不同databits,导出看是否会让图片质量有所损失

3. Introduction to Numbers

在计算机中，所有数据最终都以二进制的形式存储和处理。

二进制是一种基于2的数制，仅使用两个数字—— 0 和 1 ——来表示数值。这种设计源于计算机硬件的物理特性：电子元件（如晶体管）的开关状态可以自然地对应二进制的“关”（0）和“开”（1）。二进制的高效性和与硬件的高度适配性，使其成为计算机表示数值的基础。

当然，前苏联的计算机科学家也曾提出过三进制计算机，但由于技术和经济等多方面的原因，最终没有得到广泛应用。

二进制的表示有很多种标准，包括整数、定点数、浮点数等。理解二进制的不同表示，在硬件设计中非常重要。接下来我们将会一一介绍。

3. Introduction to Numbers

3.1. 整数：原码、反码和补码

3. Introduction to Numbers

3.1.1. 二进制表示正整数

正整数的二进制表示是很自然的：它采用基数为2的位权计数法，每一位的权值是2的幂次方。具体来说，一个n位二进制数 （其中 为 0 或 1 ）对应的十进制值为：

示例：

• 二进制数 1011 转换为十进制：
  因此，1011₂ = 11₁₀。

计算机使用固定位数（如8位、16位、32位等）存储二进制数，高位补零以满足位数要求。例如，数字5在8位二进制中表示为 00000101。

这种表示方法简单高效，是计算机处理整数的基本方式。

3. Introduction to Numbers

3.1.2. 二进制表示负整数（1）：原码

在十进制中，我们使用正负号（+ 或 -）直接表示一个数的符号，例如 +5 和 -5。但在二进制中，计算机只能存储 0 和 1，因此需要一种特殊的编码方式来表示负数。

原码（Sign-Magnitude） 是最直观的负数表示方法：

• 最高位作为符号位：0 表示正数，1 表示负数。
• 剩余位表示数值部分（即绝对值的二进制形式）。

示例（以 8 位二进制为例）：

• +5 的原码：00000101（最高位 0 表示正，后7位 0000101 是5的二进制）
• -5 的原码：10000101（最高位 1 表示负，后7位 0000101 仍是5的二进制）

3. Introduction to Numbers

3.1.2. 二进制表示负整数（1）：原码

虽然原码直观，但它存在两个主要问题：

1. 零的表示不唯一：

   • +0：00000000
   • -0：10000000
     这会导致计算时出现歧义。

2. 加减运算复杂：
   原码的加减法需要区分符号位和数值部分，硬件实现效率低。例如：

   • 5 + (-3) 不能直接相加，必须先比较绝对值大小，再调整符号，增加了计算复杂度。

由于这些缺陷，计算机通常采用更高效的 补码（Two's Complement） 表示负数（见下一节）。但原码仍然是理解负数表示的基础概念之一。

3. Introduction to Numbers

3.1.3. 二进制表示负整数（2）：反码

反码（Ones' Complement）是对原码的一种改进，旨在简化负数的表示和运算。它的核心思想是通过按位取反来表示负数，从而避免原码在加减法中的复杂符号处理。

1. 正数的反码：与原码相同，最高位为 0，其余位表示数值。
   • 例如，+5 在 8 位二进制中：

2. 负数的反码：将对应正数的所有位按位取反（0→1，1→0），包括符号位。
   • 例如，-5 的反码计算步骤：
     • 先写出 +5 的原码：00000101
     • 所有位取反：11111010
     • 因此，-5 的反码为 11111010。

3. Introduction to Numbers

3.1.3. 二进制表示负整数（2）：反码

相对于原码，反码有一些独特的特点：

1. 零的表示仍不唯一：+0：00000000 / -0：11111111

2. 加减法运算的改进：
   反码的加减法可以通过循环进位（End-Around Carry）实现：直接按位相加，若最高位产生进位，需将进位加回到结果的最低位。

   • 示例：计算 5 + (-3)（8 位反码）：
     • +5：00000101 （5 的反码） / -3：11111100（3 的反码）
     • 00000101 + 11111100 = (1)00000001，将进位 1 加回最低位：00000001 + 1 = 00000010（即 +2）。

3. 硬件实现简化：
   反码的取反操作仅需简单的逻辑门电路（NOT 门），比原码的符号判断更高效。

3. Introduction to Numbers

3.1.4. 二进制表示负整数（3）：补码

补码（Two's Complement）是现代计算机系统中表示负整数的标准方式，它解决了原码和反码的缺陷（零的冗余表示和运算复杂性），同时提供了统一的加减法运算规则。

3. Introduction to Numbers

3.1.4. 二进制表示负整数（3）：补码

补码的定义

1. 正数的补码：与原码相同，最高位为 0，其余位表示数值。
   • 例如，+5 在 8 位补码中：

3. Introduction to Numbers

3.1.4. 二进制表示负整数（3）：补码

补码的定义
2. 负数的补码（以 -5 为例）：

• 步骤1：写出对应正数的二进制表示（符号位为 0）。——+5 原码：00000101
• 步骤2：按位取反（得到反码）。——按位取反：11111010（反码）
• 步骤3：对反码加 1（忽略最高位的进位）。——加 1：11111011（补码）

快速计算：从右向左找到第一个 1，保留该 1 及其右侧所有位，左侧全部取反。

• 例如，-5 的补码：00000101 -> 11111011（第一个 1 在最低位）

3. Introduction to Numbers

3.1.4. 二进制表示负整数（3）：补码

补码的特性

1. 唯一表示零：

   • +0 和 -0 的补码均为 00000000，解决了原码和反码的冗余问题。

2. 符号位参与运算：

   • 最高位既是符号位，也是数值的一部分。例如，8 位补码的范围是 -128（10000000）到 +127（01111111）。

3. Introduction to Numbers

3.1.4. 二进制表示负整数（3）：补码

补码的特性
3. 加减法统一：

• 所有运算（包括减法）均可通过补码加法实现，无需额外处理符号。
• 示例：计算 5 - 3（相当于 5 + (-3)）：
  • 5 的补码：00000101
  • -3 的补码：11111101
  • 相加：

4. 溢出检测：
   • 若两个正数相加结果为负，或两个负数相加结果为正，则发生溢出。
   • 硬件实现：通过符号位和进位标志判断。

3. Introduction to Numbers

3.1.4. 二进制表示负整数（3）：补码

补码的优势

1. 运算简化：
   • 加减法只需一套加法电路，无需区分符号（反码则需要额外处理循环进位）。
2. 表示范围更大：
   • N 位补码可表示 -2^{N-1} 到 2^{N-1}-1，比原码和反码多一个负数（如 8 位补码的 -128）。
3. 易于扩展：
   • 想把补码扩展到更高位数，只需要在高位补符号位（0 或 1），而原码和反码则需要复杂的符号处理。
   • 例如，8 位补码 1111 1101（-3）扩展到 16 位，结果直接为 1111 1111 1111 1101。
4. 硬件友好：
   • 补码的取反加一操作可通过简单逻辑电路实现，适合现代处理器设计。

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3.1.4. 二进制表示负整数（3）：补码

补码的数学原理
补码的本质是模运算。对于 N 位二进制，补码表示的数 x 满足：

例如，-3 的 8 位补码 11111101 对应无符号数 253，因为：

这种同余关系使得加减法在模意义下自然成立。

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3.1.4. 二进制表示负整数（3）：补码

补码因其运算统一性、零的唯一性和硬件高效性，成为现代计算机的整数表示标准。理解补码是掌握计算机算术的基础，尤其在底层编程（如嵌入式系统）中至关重要。

3. Introduction to Numbers

3.2. 二进制中小数的表示

计算机系统中，小数的二进制表示主要有两种方法：定点数和浮点数。它们各有优缺点，适用于不同的计算场景。

3. Introduction to Numbers

3.2.1. 定点数表示法（Fixed-Point Representation）

定义：
预先约定小数点的固定位置，将整数部分和小数部分分别用固定长度的二进制位表示。

核心特点：

1. 固定格式：例如 16.8 格式表示 16 位整数 + 8 位小数。
2. 无指数部分：所有数值的小数点位置相同。
3. 硬件简单：可直接用整数运算单元处理（需额外移位操作）。

3. Introduction to Numbers

3.2.1. 定点数表示法（Fixed-Point Representation）

示例（假设 8 位二进制，其中高 4 位为整数，低 4 位为小数）：

• 0011 1100 → 整数部分 0011（3），小数部分 1100（0.75）→ 值：3.75
• 最小分辨率：小数部分 1 位 = 1/16（因 2^4=16）。

优缺点：

• 适合处理货币、传感器数据等范围固定的场景。
• 动态范围小，大数和小数难以兼顾（如同时表示 0.0001 和 100000.0）。

3. Introduction to Numbers

3.2.2. 浮点数表示法（Floating-Point Representation）

定义：
基于科学计数法，用 符号位（S） + 指数位（E） + 尾数位（M） 动态表示小数点的位置。

标准格式（以 IEEE 754 为例）：

3. Introduction to Numbers

3.2.2. 浮点数表示法（Floating-Point Representation）

数值计算：

• Bias：127（单精度）或 1023（双精度），用于支持负指数。
• 隐含的 1：尾数部分实际为 1.M（规范化数）。

优缺点：

• 动态范围极大（单精度约 ±10^38）。
• 存在精度损失（如 0.1 无法被浮点数所精确表示）、存在舍入误差。

3. Introduction to Numbers

3.3. 定点数与浮点数的对比

大部分 ASIC 设计中，我们使用定点数来表示小数，因为它们的硬件实现简单且高效。本次 Project 中，我们也将使用定点数来表示小数。

3. Introduction to Numbers

3.4. 定点数的表示和计算

3. Introduction to Numbers

3.4.1. 定点数的表示

定义
定点数（Fixed-Point Number）通过固定小数点的位置来表示实数。其格式通常定义为 Qm.n，其中：

• m：整数部分的二进制位数（包括符号位）
• n：小数部分的二进制位数

编码规则

1. 符号位：最高位（MSB）表示符号（0为正，1为负，仅限有符号数）
2. 数值范围：
   • 无符号定点数范围：0 到 2^m - 2^-n
   • 有符号定点数范围：-2^(m-1) 到 2^(m-1) - 2^-n
3. 分辨率：最小可表示的小数值为 2^-n

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3.4.1. 定点数的表示

示例（Q3.5 格式，8位）：

• 二进制 01011010：
  • 整数部分：010（2）
  • 小数部分：11010（0.8125）
  • 实际值：2.8125
• 最小正数：00000001 → 0.03125（2^-5）

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3.4.2. 定点数的加法

运算规则

1. 对齐小数点：两个操作数必须使用相同的 Qm.n 格式。
2. 直接相加：二进制位直接相加，小数点位自动对齐。
3. 溢出处理：结果可能超出 m+n 位表示范围，需扩展位数或饱和处理。

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3.4.2. 定点数的加法

示例（Q3.5 格式）：

• 2.5（01010000） + 1.25（00101000）：

    01010000 (2.5)
  + 00101000 (1.25)
  —————————————————
    01111000 (3.75)
  

• 若结果超出范围（如 4.0 + 4.0），会触发溢出。

注意事项：

• 有符号数需使用补码运算。
• 硬件实现通常依赖整数加法器。

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3.4.3. 定点数的减法

运算规则

1. 补码转换：将减数取补码（按位取反后加1），再与被减数相加。
2. 符号位处理：最高位为符号位，参与运算。

3. Introduction to Numbers

3.4.3. 定点数的减法

示例（Q3.5 有符号数）：

• 2.5（01010000） - 1.25（00101000）：
  1. 取 1.25 的补码：11011000（-1.25）
  2. 执行加法：

    01010000 (2.5)
  + 11011000 (-1.25)
  —————————————————
    00101000 (1.25)（忽略进位）
  

特殊情况：

• 结果为负时，自动以补码形式存储。
• 下溢出（结果小于最小可表示值）需特殊处理。

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3.4.4. 定点数的乘法

运算规则

1. 全精度乘法：两个 m+n 位数相乘，结果为 2(m+n) 位。
2. 截断与舍入：保留 m+n 位结果时需处理小数点位：
   • 乘积的小数位数为 2n，需右移 n 位对齐格式。
3. 符号处理：有符号数使用补码乘法（如 Booth 算法）。

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3.4.4. 定点数的乘法

示例（Q3.5 无符号数）：

• 1.5（00110000） × 2.0（01000000）：

  1. 整数乘法：

  00110000 × 01000000 = 0000110000000000 (48)

  2. 小数调整（右移5位）：
     • 二进制：0000110000000000 → 00001100000（3.0）
     • 实际值：48 × 2^-5 = 1.5（需修正为 3.0，此处示例需调整解释）

优化方法：

• 使用移位代替除法（如 a × b ≈ (a × b) >> n）。
• 硬件可通过乘法器+移位器实现。

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3.4.5. 定点数运算的误差控制

1. 扩展位数法：中间结果使用更高精度的 Q(m+k).(n+k) 格式。
2. 饱和运算：溢出时返回最大值（如 0111...1 或 1000...0）。
3. 舍入模式：
   • 截断（直接丢弃低位）
   • 四舍五入（加 0.5 后截断）

3. Introduction to Numbers

3.5. 代码演示

3. Introduction to Numbers

3.6. Tasks

1. Implement Fixed-Point Arithmetic in Python
   请尝试在 Python 中实现一个简单的定点数类，支持加法、减法和乘法运算。

2. Try to implement a simple fixed-point multiplier in Logisim
   请尝试在 Logisim 中实现一个简单的定点数乘法器，支持 Q8.8 格式的乘法运算。